2010 USAMO 第 5 题

Let $q = \dfrac{3p-5}{2}$ where $p$ is an odd prime, and let

$$S_q = \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{q\cdot (q+1) \cdot (q+2)}.$$

Prove that if $\dfrac{1}{p}-2S_q = \dfrac{m}{n}$ for integers $m$ and $n$, then $m-n$ is divisible by $p$.

设 $q = \dfrac{3p-5}{2}$ 其中 $p$ 是奇素数，并令

$$S_q = \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{q\cdot (q+1) \cdot (q+2)}。$$

证明如果 $\dfrac{1}{p}-2S_q = \dfrac{m}{n}$ 对于整数 $m$ 和 $n$，则 $m-n$ 可被 $p$ 整除。