内容 2003 · 167
来源 context
题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Let , , be positive real numbers. Prove that
$$
\dfrac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b + c)^2} + \dfrac{(2b + c + a)^2}{2b^2 + (c + a)^2} + \dfrac{(2c + a + b)^2}{2c^2 + (a + b)^2} \le 8.
$$
令 、、 为正实数。证明
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2003 年 USAMO P5 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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