2012 USAMO 第 4 题

Find all functions $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ (where $\mathbb{Z}^+$ is the set of positive integers) such that $f(n!) = f(n)!$ for all positive integers $n$ and such that $m - n$ divides $f(m) - f(n)$ for all distinct positive integers $m$, $n$.

查找所有函数 $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ (其中 $\mathbb{Z}^+$ 是正整数集合)，使得对于所有正整数 $n$ 来说 $f(n!) = f(n)!$ ，并且对于所有不同的正整数 $m$、$n$ 来说 $m - n$ 除以 $f(m) - f(n)$。