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番外 · 闲灯 / 国际数学奥林匹克 / P2 · algebra

1964 IMO 第 2 题

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内容 1964 · 32
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1964/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1964 P2 algebra

Denote by a,b,ca, b, c the lengths of the sides of a triangle. Prove that a2(b+c−a)+b2(c+a−b)+c2(a+b−c)≤3abca^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c) \leq 3 a b c

用 a、b、ca、b、c 表示三角形的边长。证明 a2(b+c−a)+b2(c+a−b)+c2(a+b−c)≤3abca^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c) \leq 3 a b c

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解或单调性把所有可能排完。

完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1964 年第 2 题归入 algebra：代数结构题：先把变量、方程或多项式关系整理成少数几个不变量，再看对称性、单调性或根的分布。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P2 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。

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