2011 IMO 第 1 题

Given any set $A = \{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$ of four distinct positive integers, we denote the sum $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ by $s_{A}$ . Let $n_{A}$ denote the number of pairs $(i,j)$ with $1\leq i< j\leq 4$ for which $a_{i} + a_{j}$ divides $s_{A}$ . Find all sets $A$ of four distinct positive integers which achieve the largest possible value of $n_{A}$ .

给定四个不同正整数的任意集合 $A = \{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$，我们将和 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 表示为 $s_{A}$ 。设 $n_{A}$ 表示 $1\leq i< j\leq 4$ 的对 $(i,j)$ 的数量，其中 $a_{i} + a_{j}$ 除以 $s_{A}$ 。查找四个不同正整数的所有集合 $A$，它们实现 $n_{A}$ 的最大可能值。