2024 IMO 第 3 题

Let $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , ... be an infinite sequence of positive integers, and let $N$ be a positive integer. Suppose that, for each $n > N$ , the number $a_{n}$ is equal to the number of times $a_{n - 1}$ appears in the list $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n - 1})$ . Prove that at least one of the sequences $a_{1}$ , $a_{3}$ , $a_{5}$ , ... and $a_{2}$ , $a_{4}$ , $a_{6}$ , ... is eventually periodic.

令 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、... 为正整数的无限序列，并令 $N$ 为正整数。假设对于每个 $n > N$ ，数字 $a_{n}$ 等于 $a_{n - 1}$ 在列表 $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n - 1})$ 中出现的次数。证明序列 $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{5}$ 、 ... 和 $a_{2}$ 、 $a_{4}$ 、 $a_{6}$ 、 ... 中的至少一个最终是周期性的。