2001 IMO 第 1 题

A1 (IND) Let $T$ denote the set of all ordered triples $(p, q, r)$ of nonnegative integers. Find all functions $f: T \rightarrow \mathbb{R}$ such that $$f(p, q, r)=\left\{\begin{array}{rrr} 0 & & \text { if } p q r=0 \\ 1+\frac{1}{6} & (f(p+1, q-1, r)+f(p-1, q+1, r) & \\ & +f(p-1, q, r+1)+f(p+1, q, r-1) & \\ & +f(p, q+1, r-1)+f(p, q-1, r+1)) & \\ & \text { otherwise. } \end{array}\right.$$

A1 (IND) 设 $T$ 表示所有有序三元组 $(p, q, r)$ 非负整数的集合。查找所有函数 $f: T \rightarrow \mathbb{R}$ 使得 f(p, q, r)=\left\{\begin{array}{rrr} 0 & & \text { if } p q r=0 \\ 1+\frac{1}{6} & (f(p+1, q-1, r)+f(p-1, q+1, r) & \\ & +f(p-1, q, r+1)+f(p+1, q, r-1) & \\ & +f(p, q+1, r-1)+f(p, q-1, r+1)) & \\ & \text { 否则。 } \end{数组}\对。