2013 IMO 第 3 题

Let the excircle of triangle $A B C$ opposite the vertex $A$ be tangent to the side $B C$ at the point $A_{1}$ . Define the points $B_{1}$ on $C A$ and $C_{1}$ on $A B$ analogously, using the excircles opposite $B$ and $C$ , respectively. Suppose that the circumcenter of triangle $A_{1}B_{1}C_{1}$ lies on the circumcircle of triangle $A B C$ . Prove that triangle $A B C$ is right-angled.

设与顶点$A$相对的三角形$A B C$的外圆在点$A_{1}$处与边$B C$相切。类似地，分别使用 $B$ 和 $C$ 相对的外接圆，定义 $C A$ 上的点 $B_{1}$ 和 $A B$ 上的 $C_{1}$ 。假设三角形 $A_{1}B_{1}C_{1}$ 的外心位于三角形 $A B C$ 的外接圆上。证明三角形 $A B C$ 是直角。