1994 IMO 第 5 题

A5 (POL) Let $f(x)=\frac{x^{2}+1}{2 x}$ for $x \neq 0$. Define $f^{(0)}(x)=x$ and $f^{(n)}(x)=$ $f\left(f^{(n-1)}(x)\right)$ for all positive integers $n$ and $x \neq 0$. Prove that for all nonnegative integers $n$ and $x \neq-1,0$, or 1 , $$\frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)}=1+\frac{1}{f\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2^{n}}\right)}$$

A5 (POL) 设 $f(x)=\frac{x^{2}+1}{2 x}$ 为 $x \neq 0$。为所有正整数 $n$ 和 $x \neq 0$ 定义 $f^{(0)}(x)=x$ 和 $f^{(n)}(x)=$ $f\left(f^{(n-1)}(x)\right)$。证明对于所有非负整数 $n$ 和 $x \neq-1,0$ 或 1 ， $$\frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)}=1+\frac{1}{f\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2^{n}}\right)}$$