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番外 · 闲灯 / 国际数学奥林匹克 / P3 · geometry

1972 IMO 第 3 题

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内容 1972 · 81
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1972/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1972 P3 geometry

(CZS 4) Let x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} be real numbers satisfying x1+x2+⋯+xn=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}= 0 . Let mm be the least and MM the greatest among them. Prove that x12+x22+⋯+xn2≤−nmMx_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leq-n m M

(CZS 4) 设 x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} 为满足 x1+x2+⋯+xn=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}= 0 的实数。设 mm 为其中最小的，MM 为最大的。证明 x12+x22+⋯+xn2≤−nmMx_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leq-n m M

提示 1

先标出所有固定量和会变化的点。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。

完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1972 年第 3 题归入 geometry：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P3 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。

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