1997 IMO 第 3 题

For each finite set $U$ of nonzero vectors in the plane we define $l(U)$ to be the length of the vector that is the sum of all vectors in $U$. Given a finite set $V$ of nonzero vectors in the plane, a subset $B$ of $V$ is said to be maximal if $l(B)$ is greater than or equal to $l(A)$ for each nonempty subset $A$ of $V$. (a) Construct sets of 4 and 5 vectors that have 8 and 10 maximal subsets respectively. (b) Show that for any set $V$ consisting of $n \geq 1$ vectors, the number of maximal subsets is less than or equal to $2 n$.

对于平面中每个非零向量的有限集 $U$，我们将 $l(U)$ 定义为向量的长度，该向量是 $U$ 中所有向量的总和。给定平面中非零向量的有限集 $V$，如果 $V$ 的每个非空子集 $A$ 的 $l(B)$ 大于或等于 $l(A)$，则 $V$ 的子集 $B$ 被称为最大。 (a) 构造分别具有 8 和 10 个最大子集的 4 和 5 个向量集。 (b) 证明对于任何由 $n \geq 1$ 向量组成的集合 $V$，最大子集的数量小于或等于 $2 n$。