2023 IMO 第 3 题

For each integer $k\geq 2$ , determine all infinite sequences of positive integers $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... for which there exists a polynomial $P$ of the form

$$P(x) = x^{k} + c_{k - 1}x^{k - 1} + \dots +c_{1}x + c_{0},$$

where $c_{0}$ , $c_{1}$ , ..., $c_{k - 1}$ are non-negative integers, such that

$$P(a_{n}) = a_{n + 1}a_{n + 2}\cdot \cdot \cdot a_{n + k}$$

for every integer $n\geq 1$

对于每个整数 $k\geq 2$ ，确定正整数的所有无限序列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，...，其中存在以下形式的多项式 $P$

$$P(x) = x^{k} + c_{k - 1}x^{k - 1} + \dots +c_{1}x + c_{0},$$

其中 $c_{0}$ , $c_{1}$ , ..., $c_{k - 1}$ 是非负整数，这样

$$P(a_{n}) = a_{n + 1}a_{n + 2}\cdot \cdot \cdot a_{n + k}$$

对于每个整数 $n\geq 1$