2021 IMO 第 3 题

Let $D$ be an interior point of the acute triangle $ABC$ with $AB > AC$ so that $\angle DAB = \angle CAD$ . The point $E$ on the segment $AC$ satisfies $\angle ADE = \angle BCD$ , the point $F$ on the segment $AB$ satisfies $\angle FDA = \angle DBC$ , and the point $X$ on the line $AC$ satisfies $CX = BX$ . Let $O_{1}$ and $O_{2}$ be the circumcenters of the triangles $ADC$ and $EXD$ , respectively. Prove that the lines $BC$ , $EF$ , and $O_{1}O_{2}$ are concurrent.

设 $D$ 为锐角三角形 $ABC$ 的内点，其中 $AB > AC$，因此 $\angle DAB = \angle CAD$ 。线段 $AC$ 上的点 $E$ 满足 $\angle ADE = \angle BCD$ ，线段 $AB$ 上的点 $F$ 满足 $\angle FDA = \angle DBC$ ，线段 $AC$ 上的点 $X$ 满足 $CX = BX$ 。设 $O_{1}$ 和 $O_{2}$ 分别为三角形 $ADC$ 和 $EXD$ 的外心。证明 $BC$ 、 $EF$ 和 $O_{1}O_{2}$ 行是并发的。