2020 IMO 第 6 题

Consider an integer $n > 1$ , and a set $S$ of $n$ points in the plane such that the distance between any two different points in $S$ is at least 1. Prove there is a line $\ell$ separating $S$ such that the distance from any point of $S$ to $\ell$ is at least $\Omega (n^{-1 / 3})$ .

(A line $\ell$ separates a set of points $S$ if some segment joining two points in $S$ crosses $\ell$ .)

考虑一个整数 $n > 1$ ，以及平面上 $n$ 点的集合 $S$ ，使得 $S$ 中任意两个不同点之间的距离至少为 1。证明存在一条线 $\ell$ 分隔 $S$ ，使得从 $S$ 的任何点到 $\ell$ 的距离至少为 $\Omega (n^{-1 / 3})$ 。

(如果连接 $S$ 中两个点的某些线段穿过 $\ell$，则线 $\ell$ 分隔一组点 $S$。)