题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2020/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
A deck of cards is given. A positive integer is written on each card. The deck has the property that the arithmetic mean of the numbers on each pair of cards is also the geometric mean of the numbers on some collection of one or more cards. For which does it follow that the numbers on the cards are all equal?
给出一副 卡。每张卡片上都写有一个正整数。该牌具有这样的属性：每对牌上的数字的算术平均值也是一张或多张牌上的数字的几何平均值。对于哪一个 来说，卡片上的数字都是相等的？
提示 1
先猜等号，再看每一项的量纲和同次性。
提示 2
试着归一化，或把式子拆成柯西、均值、凸性可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件是否和题设完全兼容。
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2020 年第 5 题归入 inequality：不等式题：先判断等号形状，再选用均值、柯西、凸性、重排或归一化，把表达式压成可控的标准型。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P5 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。