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番外 · 闲灯 / 国际数学奥林匹克 / P5 · inequality

2011 IMO 第 5 题

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内容 2011 · 311
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2011/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2011 P5 inequality

Let f:Z→Z>0f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_{>0} be a function such that f(m−n)∣f(m)−f(n)f(m - n)\mid f(m) - f(n) for m,n∈Zm,n\in \mathbb{Z} Prove that if m,n∈Zm,n\in \mathbb{Z} satisfy f(m)≤f(n)f(m)\leq f(n) then f(m)∣f(n)f(m)\mid f(n)

设 f:Z→Z>0f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_{>0} 是一个函数，使得 f(m−n)∣f(m)−f(n)f(m - n)\mid f(m) - f(n) 对于 m,n∈Zm,n\in \mathbb{Z} 证明如果 m,n∈Zm,n\in \mathbb{Z} 满足 f(m)≤f(n)f(m)\leq f(n) 则 f(m)∣f(n)f(m)\mid f(n)

提示 1

先猜等号，再看每一项的量纲和同次性。

提示 2

试着归一化，或把式子拆成柯西、均值、凸性可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件是否和题设完全兼容。

完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2011 年第 5 题归入 inequality：不等式题：先判断等号形状，再选用均值、柯西、凸性、重排或归一化，把表达式压成可控的标准型。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P5 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。

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