2015 IMO 第 3 题

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB > AC$ . Let $\Gamma$ be its circumcircle, $H$ its orthocenter, and $F$ the foot of the altitude from $A$ . Let $M$ be the midpoint of $\overline{BC}$ . Let $Q$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle HQA = 90^\circ$ and let $K$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle HKQ = 90^\circ$ . Assume that the points $A$ , $B$ , $C$ , $K$ and $Q$ are all different and lie on $\Gamma$ in this order. Prove that the circumcircles of triangles $KQH$ and $FKM$ are tangent to each other.

令 $ABC$ 为锐角三角形，且 $AB > AC$ 。令 $\Gamma$ 为其外接圆， $H$ 为其正交中心， $F$ 为从 $A$ 开始的高度的脚。设 $M$ 为 $\overline{BC}$ 的中点。令 $Q$ 为 $\Gamma$ 上的点，使得 $\angle HQA = 90^\circ$ ，令 $K$ 为 $\Gamma$ 上的点，使得 $\angle HKQ = 90^\circ$ 。假设点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $K$ 和 $Q$ 都不同并且按此顺序位于 $\Gamma$ 上。证明三角形 $KQH$ 和 $FKM$ 的外接圆彼此相切。