2021 IMO 第 4 题

Let $\Gamma$ be a circle with center $I$ , and $ABCD$ a convex quadrilateral such that each of the segments $AB$ , $BC$ , $CD$ and $DA$ is tangent to $\Gamma$ . Let $\Omega$ be the circumcircle of the triangle $AIC$ . The extension of $BA$ beyond $A$ meets $\Omega$ at $X$ , and the extension of $BC$ beyond $C$ meets $\Omega$ at $Z$ . The extensions of $AD$ and $CD$ beyond $D$ meet $\Omega$ at $Y$ and $T$ , respectively. Prove that

$$AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.$$

令 $\Gamma$ 为以 $I$ 为圆心的圆，$ABCD$ 为凸四边形，使得每个线段 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 和 $DA$ 均与 $\Gamma$ 相切。设 $\Omega$ 为三角形 $AIC$ 的外接圆。 $BA$ 超出 $A$ 的扩展在 $X$ 处与 $\Omega$ 相交，而 $BC$ 超出 $C$ 的扩展在 $Z$ 处与 $\Omega$ 相交。 $AD$ 和 $CD$ 超出 $D$ 的扩展分别在 $Y$ 和 $T$ 处与 $\Omega$ 相交。证明

$$AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC。$$