1983 IMO 第 2 题

(BEL 1) Let $n$ be a positive integer. Let $\sigma(n)$ be the sum of the natural divisors $d$ of $n$ (including 1 and $n$ ). We say that an integer $m \geq 1$ is superabundant (P.Erdös, 1944) if $\forall k \in\{1,2, \ldots, m-1\}, \frac{\sigma(m)}{m}>\frac{\sigma(k)}{k}$. Prove that there exists an infinity of superabundant numbers.

(BEL 1) 令 $n$ 为正整数。令 $\sigma(n)$ 为 $n$ 的自然因数 $d$ 之和(包括 1 和 $n$ )。如果 $\forall k \in\{1,2, \ldots, m-1\}, \frac{\sigma(m)}{m}>\frac{\sigma(k)}{k}$，我们说整数 $m \geq 1$ 是过剩的 (P.Erdös, 1944)。证明存在无穷多个超丰数。