1972 IMO 第 1 题

(BUL 7) ${ }^{\mathrm{IMO} 5}$ Let $f$ and $\varphi$ be real functions defined on the set $\mathbb{R}$ satisfying the functional equation $$f(x+y)+f(x-y)=2 \varphi(y) f(x)$$ for arbitrary real $x, y$ (give examples of such functions). Prove that if $f(x)$ is not identically 0 and $|f(x)| \leq 1$ for all $x$, then $|\varphi(x)| \leq 1$ for all $x$.

(BUL 7) ${ }^{\mathrm{IMO} 5}$ 设 $f$ 和 $\varphi$ 为定义在集合 $\mathbb{R}$ 上的实函数，满足函数方程 $$f(x+y)+f(x-y)=2 \varphi(y) f(x)$$ 对于任意实数 $x, y$(给出此类函数的例子)。证明如果 $f(x)$ 不等于 0 且 $|f(x)| 不完全相同\leq 1$ 对于所有 $x$，则 $|\varphi(x)| \leq 1$ 对于所有 $x$。