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1974 IMO 第 2 题

题面据 IMO 可核档案整理;中文题意为本站自译或改写,正式公式请以原始来源为准。PDF:https://www.imo-official.org/problems/1974/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1974 P2 algebra

I 2 (POL 1) Prove that the squares with sides 1/1,1/2,1/3,1 / 1,1 / 2,1 / 3, \ldots may be put into the square with side 3/23 / 2 in such a way that no two of them have any interior point in common.

I 2 (POL 1) 证明边长为 1/1,1/2,1/3,1 / 1,1 / 2,1 / 3, \ldots 的正方形可以放入边长为 3/23 / 2 的正方形中,使得它们中没有两个有任何公共内点。

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解或单调性把所有可能排完。

完整解答

题面来自可核来源,本站补原创提示和解法骨架。 先把 1974 年第 2 题归入 algebra:代数结构题:先把变量、方程或多项式关系整理成少数几个不变量,再看对称性、单调性或根的分布。 完整解答的主线是先翻译题设,提取一个不变量或标准构型;第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式;第三步把剩余情形分完,并回到题目要求检查边界和等号。P2 的题位也给出节奏提示:P1/P4 多半从直接观察起步,P2/P5 需要一个中间引理,P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。