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番外 · 闲灯 / 国际数学奥林匹克 / P4 · combinatorics

1991 IMO 第 4 题

题面据 IMO 可核档案整理;中文题意为本站自译或改写,正式公式请以原始来源为准。PDF:https://www.imo-official.org/problems/1991/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 1991 P4 combinatorics

(FRA 2) IMO5{ }^{\mathrm{IMO5}} Let ABCA B C be a triangle and MM an interior point in ABCA B C. Show that at least one of the angles MAB,MBC\measuredangle M A B, \measuredangle M B C, and MCA\measuredangle M C A is less than or equal to 3030^{\circ}.

(FRA 2) IMO5{ }^{\mathrm{IMO5}}ABCA B C 为三角形,MMABCA B C 中的内点。证明角度 MABMBC\measuredangle M A B、\measuredangle M B CMCA\measuredangle M C A 中的至少一个小于或等于 3030^{\circ}

提示 1

先决定要数什么对象,或把关系画成图。

提示 2

找一个极端对象、双计数式或不变量。

提示 3

把局部限制累加成全局矛盾或构造。

完整解答

题面来自可核来源,本站补原创提示和解法骨架。 先把 1991 年第 4 题归入 combinatorics:组合结构题:先把对象翻成集合、图、排列或计数过程,抓住不变量、极端对象和双计数入口。 完整解答的主线是先翻译题设,提取一个不变量或标准构型;第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式;第三步把剩余情形分完,并回到题目要求检查边界和等号。P4 的题位也给出节奏提示:P1/P4 多半从直接观察起步,P2/P5 需要一个中间引理,P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。