2019 IMO 第 2 题

In triangle $A B C$ point $A_{1}$ lies on side $B C$ and point $B_{1}$ lies on side $A C$ . Let $P$ and $Q$ be points on segments $A A_{1}$ and $B B_{1}$ , respectively, such that $\overline{{P Q}}\parallel \overline{{A B}}$ . Point $P_{1}$ is chosen on ray $P B_{1}$ beyond $B_{1}$ such that $\angle P P_{1}C = \angle B A C$ . Point $Q_{1}$ is chosen on ray $Q A_{1}$ beyond $A_{1}$ such that $\angle C Q_{1}Q = \angle C B A$ . Prove that points $P_{1}$ , $Q_{1}$ , $P$ , $Q$ are cyclic.

在三角形 $A B C$ 中，点 $A_{1}$ 位于边 $B C$ 上，点 $B_{1}$ 位于边 $A C$ 上。令 $P$ 和 $Q$ 分别为线段 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ 上的点，使得 $\overline{{P Q}}\parallel \overline{{A B}}$ 。在 $B_{1}$ 之外的射线 $P B_{1}$ 上选择点 $P_{1}$，使得 $\angle P P_{1}C = \angle B A C$ 。在射线 $Q A_{1}$ 上选择超出 $A_{1}$ 的点 $Q_{1}$，使得 $\angle C Q_{1}Q = \angle C B A$ 。证明点 $P_{1}$ 、 $Q_{1}$ 、 $P$ 、 $Q$ 是循环的。