2012 IMO 第 4 题

Find all functions $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ such that, for all integers $a$ , $b$ , $c$ that satisfy $a + b + c = 0$ , the following equality holds:

$$f(a)^{2} + f(b)^{2} + f(c)^{2} = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a).$$

查找所有函数 $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ ，使得对于满足 $a + b + c = 0$ 的所有整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，以下等式成立：

$$f(a)^{2} + f(b)^{2} + f(c)^{2} = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a)。$$