题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2000/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
(HUN) A magician has one hundred cards numbered 1 to 100. He puts them into three boxes, a red one, a white one, and a blue one, so that each box contains at least one card. A member of the audience draws two cards from two different boxes and announces the sum of numbers on those cards. Given this information, the magician locates the box from which no card has been drawn. How many ways are there to put the cards in the three boxes so that the trick works?
(HUN) 一位魔术师有一百张牌，编号为 1 到 100。他将它们放入红、白、蓝三个盒子中，使得每个盒子至少包含一张牌。一名观众从两个不同的盒子里抽出两张卡片，并宣布这些卡片上的数字之和。根据这些信息，魔术师找到了没有抽出牌的盒子。有多少种方法可以将卡片放入三个盒子中以使魔术起作用？
提示 1
先看模小素数、最大公因数或整除链。
提示 2
把整数条件转成同余方程或 p 进指数比较。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例或下降。
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2000 年第 1 题归入 number theory：数论结构题：先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值，再用构造或反证把整数条件锁紧。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P1 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。