2010 IMO 第 2 题

Let $I$ be the incenter of a triangle $A B C$ and let $\Gamma$ be its circumcircle. Let line $A I$ intersect $\Gamma$ again at $D$ . Let $E$ be a point on arc $\overrightarrow{B D C}$ and $F$ a point on side $B C$ such that

$$\angle B A F = \angle C A E< \frac{1}{2}\angle B A C.$$

Finally, let $G$ be the midpoint of $\overline{{I F}}$ . Prove that $\overline{{D G}}$ and $\overline{{E I}}$ intersect on $\Gamma$

令 $I$ 为三角形 $A B C$ 的内心，并令 $\Gamma$ 为其外接圆。让线 $A I$ 再次与 $\Gamma$ 相交于 $D$ 。设 $E$ 为弧 $\overrightarrow{B D C}$ 上的点，$F$ 为边 $B C$ 上的点，这样

$$\angle B A F = \angle C A E< \frac{1}{2}\angle B A C.$$

最后，令 $G$ 为 $\overline{{I F}}$ 的中点。证明 $\overline{{D G}}$ 和 $\overline{{E I}}$ 相交于 $\Gamma$