题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/1986/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
(USA 3) Let , and be three points on the edge of a circular chord such that is due west of and is an equilateral triangle whose side is 86 meters long. A boy swam from directly toward . After covering a distance of meters, he turned and swam westward, reaching the shore after covering a distance of meters. If and are both positive integers, determine .
(美国 3)令 和 为圆弦边缘上的三个点，使得 位于 的正西，而 是边长 86 米的等边三角形。一个男孩从直接游向。游了米后，他转身向西游，游了米后到达岸边。如果和都是正整数，则确定。
提示 1
先标出所有固定量和会变化的点。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 1986 年第 3 题归入 geometry：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P3 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。
这题适合拿来练“先不看解答”的耐心：不要急着套大定理，先把题位、主题和题设中最硬的限制写成一行。