1997 IMO 第 4 题

${ }^{\mathrm{IMO} 4} \mathrm{An} n \times n$ matrix with entries from $\{1,2, \ldots, 2 n-1\}$ is called a coveralls matrix if for each $i$ the union of the $i$ th row and the $i$ th column contains $2 n-1$ distinct entries. Show that: (a) There exist no coveralls matrices for $n=1997$. (b) Coveralls matrices exist for infinitely many values of $n$.

${ }^{\mathrm{IMO} 4} \mathrm{An} n \times n$ 矩阵，其条目来自 $\{1,2, \ldots, 2 n-1\}$，如果对于每个 $i$，第 $i$ 行和 $i$ 列的并集包含 $2 n-1$ 个不同条目，则称为覆盖矩阵。表明： (a) 不存在 $n=1997$ 的工作服矩阵。 (b) 工作服矩阵存在无限多个 $n$ 值。