2015 IMO 第 6 题

The sequence $a_1, a_2, \ldots$ of integers satisfies the conditions:

(i) $1 \leq a_j \leq 2015$ for all $j \geq 1$ ,

(ii) $k + a_k \neq \ell + a_\ell$ for all $1 \leq k < \ell$ .

Prove that there exist two positive integers $b$ and $N$ for which

$$\left|\sum_{j = m + 1}^{n}(a_{j} - b)\right| \leq 1007^{2}$$

for all integers $m$ and $n$ such that $n > m \geq N$ .

整数序列 $a_1, a_2, \ldots$ 满足条件：

(i) $1 \leq a_j \leq 2015$ 对于所有 $j \geq 1$ ，

(ii) $k + a_k \neq \ell + a_\ell$ 对于所有 $1 \leq k < \ell$ 。

证明存在两个正整数$b$和$N$，其中

$$\left|\sum_{j = m + 1}^{n}(a_{j} - b)\right| \leq 1007^{2}$$

对于所有整数 $m$ 和 $n$ ，使得 $n > m \geq N$ 。