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番外 · 闲灯 / 国际数学奥林匹克 / P6 · geometry / combinatorics

2004 IMO 第 6 题

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内容 2004 · 270
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2004/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2004 P6 geometrycombinatorics

A6 (RUS) Find all functions f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} satisfying the equation f(x2+y2+2f(xy))=(f(x+y))2 for all x,y∈Rf\left(x^{2}+y^{2}+2 f(x y)\right)=(f(x+y))^{2} \quad \text { for all } x, y \in \mathbb{R}

A6 (RUS) 找到所有满足方程 f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 的函数 f(x2+y2+2f(xy))=(f(x+y))2 for all x,y∈Rf\left(x^{2}+y^{2}+2 f(x y)\right)=(f(x+y))^{2} \quad \text { for all } x, y \in \mathbb{R}

提示 1

先标出所有固定量和会变化的点。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。

完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2004 年第 6 题归入 geometry / combinatorics：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P6 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。

闲谈 aside

这题适合拿来练“先不看解答”的耐心：不要急着套大定理，先把题位、主题和题设中最硬的限制写成一行。1990 年以后的 P3/P6 在闲灯中单列为 extremely-hard，复盘时重点看关键引理从哪里冒出来。

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