2025 IMO 第 2 题

Let $\Omega$ and $\Gamma$ be circles with centres $M$ and $N$ , respectively, such that the radius of $\Omega$ is less than the radius of $\Gamma$ . Suppose $\Omega$ and $\Gamma$ intersect at two distinct points $A$ and $B$ . Line $MN$ intersects $\Omega$ at $C$ and $\Gamma$ at $D$ , so that $C$ , $M$ , $N$ , $D$ lie on $MN$ in that order. Let $P$ be the circumcenter of triangle $ACD$ . Line $AP$ meets $\Omega$ again at $E \neq A$ and meets $\Gamma$ again at $F \neq A$ . Let $H$ be the orthocenter of triangle $PMN$ . Prove that the line through $H$ parallel to $AP$ is tangent to the circumcircle of triangle $BEF$ .

令 $\Omega$ 和 $\Gamma$ 分别为以 $M$ 和 $N$ 为圆心的圆，使得 $\Omega$ 的半径小于 $\Gamma$ 的半径。假设 $\Omega$ 和 $\Gamma$ 相交于两个不同的点 $A$ 和 $B$ 。线 $MN$ 在 $C$ 处与 $\Omega$ 相交，在 $D$ 处与 $\Gamma$ 相交，因此 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $D$ 按此顺序位于 $MN$ 上。令 $P$ 为三角形 $ACD$ 的外心。 $AP$ 线在 $E \neq A$ 处再次与 $\Omega$ 相遇，并在 $F \neq A$ 处再次与 $\Gamma$ 相遇。令 $H$ 为三角形 $PMN$ 的重心。证明通过 $H$ 与 $AP$ 平行的线与三角形 $BEF$ 的外接圆相切。