1986 CMO 第 1 题

We are given $n$ reals $a_1,a_2,\cdots , a_n$ such that the sum of any two of them is non-negative. Prove that the following statement and its converse are both true: if $n$ non-negative reals $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ satisfy $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$ , then the inequality $a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n\ge a_1x^2_1+ a_2x^2_2+\cdots + a_nx^2_n$ holds.

我们得到 $n$ 实数 $a_1,a_2,\cdots , a_n$ ，使得它们中的任何两个之和都是非负的。证明以下命题及其逆命题均成立：如果 $n$ 个非负实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 满足 $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$ ，则不等式 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n\ge a_1x^2_1+ a_2x^2_2+\cdots + a_nx^2_n$ 成立。