2012 CMO 第 2 题

Consider a square-free even integer $n$ and a prime $p$ , such that
1) $(n,p)=1$ ;
2) $p\le 2\sqrt{n}$ ;
3) There exists an integer $k$ such that $p|n+k^2$ .
Prove that there exists pairwise distinct positive integers $a,b,c$ such that $n=ab+bc+ca$ .

*Proposed by Hongbing Yu*

考虑一个无平方偶数 $n$ 和一个素数 $p$ ，这样

1) $(n,p)=1$;

2) $p\le 2\sqrt{n}$ ;

3) 存在一个整数 $k$ 使得 $p|n+k^2$ 。

证明存在成对不同的正整数 $a,b,c$ 使得 $n=ab+bc+ca$ 。

*于红兵提议*