2017 CMO 第 3 题

In acute triangle $ABC$ , let $\odot O$ be its circumcircle, $\odot I$ be its incircle. Tangents at $B,C$ to $\odot O$ meet at $L$ , $\odot I$ touches $BC$ at $D$ . $AY$ is perpendicular to $BC$ at $Y$ , $AO$ meets $BC$ at $X$ , and $OI$ meets $\odot O$ at $P,Q$ . Prove that $P,Q,X,Y$ are concyclic if and only if $A,D,L$ are collinear.

在锐角三角形 $ABC$ 中，设 $\odot O$ 为其外接圆，$\odot I$ 为其内切圆。 $B,C$ 到 $\odot O$ 的切线在 $L$ 处相交，$\odot I$ 在 $D$ 处与 $BC$ 相交。 $AY$ 在 $Y$ 处与 $BC$ 垂直，$AO$ 在 $X$ 处与 $BC$ 相交，$OI$ 在 $P,Q$ 处与 $\odot O$ 相交。证明 $P,Q,X,Y$ 是同循环的当且仅当 $A,D,L$ 共线。