1990 CMO 第 5 题

Given a finite set $X$ , let $f$ be a rule such that $f$ maps every *even-element-subset* $E$ of $X$ (i.e. $E \subseteq X$ , $|E|$ is even) into a real number $f(E)$ . Suppose that $f$ satisfies the following conditions:

(I) there exists an *even-element-subset* $D$ of $X$ such that $f(D)>1990$ ;

(II) for any two disjoint *even-element-subsets* $A,B$ of $X$ , equation $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$ holds.

Prove that there exist two subsets $P,Q$ of $X$ satisfying:

(1) $P\cap Q=\emptyset$ , $P\cup Q=X$ ;

(2) for any *non-even-element-subset* $S$ of $P$ (i.e. $S\subseteq P$ , $|S|$ is odd), we have $f(S)>1990$ ;

(3) for any *even-element-subset* $T$ of $Q$ , we have $f(T)\le 1990$ .

给定有限集 $X$ ，令 $f$ 为一条规则，使得 $f$ 将 $X$ 的每个*偶数元素子集* $E$ (即 $E \subseteq X$ ， $|E|$ 为偶数)映射为实数 $f(E)$ 。假设$f$满足以下条件：

(I) 存在 $X$ 的*偶数元素子集* $D$，使得 $f(D)>1990$ ；

(II) 对于 $X$ 的任意两个不相交的*偶数元素子集* $A,B$，方程 $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$ 成立。

证明 $X$ 存在两个子集 $P,Q$ 满足：

(1) $P\cap Q=\emptyset$ , $P\cup Q=X$ ;

(2) 对于 $P$ 的任何 *非偶数元素子集* $S$ (即 $S\subseteq P$ ， $|S|$ 是奇数)，我们有 $f(S)>1990$ ；

(3) 对于 $Q$ 的任何 *偶数元素子集* $T$ ，我们有 $f(T)\le 1990$ 。