2012 CMO 第 3 题

Find the smallest positive integer $k$ such that, for any subset $A$ of $S=\{1,2,\ldots,2012\}$ with $|A|=k$ , there exist three elements $x,y,z$ in $A$ such that $x=a+b$ , $y=b+c$ , $z=c+a$ , where $a,b,c$ are in $S$ and are distinct integers.

*Proposed by Huawei Zhu*

找到最小的正整数 $k$，使得对于 $S=\{1,2,\ldots,2012\}$ 的任何子集 $A$ 和 $|A|=k$ ，$A$ 中存在三个元素 $x,y,z$ ，使得 $x=a+b$ 、 $y=b+c$ 、 $z=c+a$ ，其中 $a,b,c$ 位于 $S$ 中并且是不同的整数。

*朱华为提议*