1991 CMO 第 1 题

We are given a convex quadrilateral $ABCD$ in the plane.

(*i*) If there exists a point $P$ in the plane such that the areas of $\triangle ABP, \triangle BCP, \triangle CDP, \triangle DAP$ are equal, what condition must be satisfied by the quadrilateral $ABCD$ ?

(*ii*) Find (with proof) the maximum possible number of such point $P$ which satisfies the condition in (*i*).

我们在平面上有一个凸四边形$ABCD$。

(*i*) 如果平面上存在一点$P$，使得$\triangle ABP、\triangle BCP、\triangle CDP、\triangle DAP$ 的面积相等，则四边形$ABCD$ 必须满足什么条件？

(*ii*) 找到(并证明)满足 (*i*) 中的条件的此类点 $P$ 的最大可能数量。