2003 CMO 第 1 题

Let $I$ and $H$ be the incentre and orthocentre of triangle $ABC$ respectively. Let $P,Q$ be the midpoints of $AB,AC$ . The rays $PI,QI$ intersect $AC,AB$ at $R,S$ respectively. Suppose that $T$ is the circumcentre of triangle $BHC$ . Let $RS$ intersect $BC$ at $K$ . Prove that $A,I$ and $T$ are collinear if and only if $[BKS]=[CKR]$ .

*Shen Wunxuan*

设$I$和$H$分别为三角形$ABC$的内心和垂心。令 $P,Q$ 为 $AB,AC$ 的中点。射线$PI,QI$分别与$AC,AB$相交于$R,S$。假设 $T$ 是三角形 $BHC$ 的外心。让 $RS$ 与 $BC$ 相交于 $K$ 。证明 $A,I$ 和 $T$ 共线当且仅当 $[BKS]=[CKR]$ 。

*沉文轩*