灯下 登录
番外 · 闲灯 / 中国数学奥林匹克 / P1 · number-theory

2002 CMO 第 1 题

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理;中文题意为本站自译,英文行为来源英译摘要,公式请以原始来源为准。

CMO 2002 P1 number-theory

the edges of triangle ABCABC are a,b,ca,b,c respectively, b<cb<c , ADAD is the bisector of A\angle A ,point DD is on segment BCBC .

(1)find the property A\angle A , B\angle B , C\angle C have,so that there exists point E,FE,F on AB,ACAB,AC satisfy BE=CFBE=CF ,and NDE=CDF\angle NDE=\angle CDF (2)when such E,FE,F exist,express BEBE with a,b,ca,b,c

三角形ABCABC的边分别为a,b,ca,b,cb<cb<cADADA\angle A的平分线,点DD在线段BCBC上。

(1)求A\angle AB\angle BC\angle C具有的性质,使得ABACAB、AC上存在点EFE、F,满足BE=CFBE=CF,且NDE=CDF\angle NDE=\angle CDF (2)当EFE、F存在时,用a,b,ca,b,c表示BEBE

提示 1

先看模小素数、最大公因数或整除链。

提示 2

把整数条件转成同余方程或 p 进指数比较。

提示 3

若要存在性,用构造;若要唯一性,用最小反例或下降。

完整解答

题面已直接收录。先把 2002 年 CMO 第 1 题的条件整理成对象、关系、目标三部分;再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形;最后补齐边界情形,并回到原题要求核对。