2010 CMO 第 2 题

Two circles $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ meet at $A$ and $B$ . A line through $B$ meets $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ again at $C$ and $D$ repsectively. Another line through $B$ meets $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ again at $E$ and $F$ repsectively. Line $CF$ meets $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ again at $P$ and $Q$ respectively. $M$ and $N$ are midpoints of arc $PB$ and arc $QB$ repsectively. Show that if $CD = EF$ , then $C,F,M,N$ are concyclic.

两个圆 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 在 $A$ 和 $B$ 处相交。通过 $B$ 的线分别在 $C$ 和 $D$ 处再次与 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 相遇。通过 $B$ 的另一条线分别在 $E$ 和 $F$ 处再次与 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 相遇。 $CF$ 线分别在 $P$ 和 $Q$ 处再次与 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 相遇。 $M$和$N$分别是圆弧$PB$和圆弧$QB$的中点。证明如果 $CD = EF$ ，则 $C,F,M,N$ 是同循环的。