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番外 · 闲灯 / 中国数学奥林匹克 / P2 · inequality

2024 CMO 第 2 题

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内容 2024 · 230
来源 context

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理；中文题意为本站自译，英文行为来源英译摘要，公式请以原始来源为准。

CMO 2024 P2 inequality

Find the largest real number cc such that ∑i=1n∑j=1n(n−∣i−j∣)xixj≥c∑j=1nxi2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(n-|i-j|)x_ix_j \geq c\sum_{j=1}^{n}x^2_i for any positive integer nn and any real numbers x1,x2,…,xn.x_1,x_2,\dots,x_n.

找到最大实数 cc，使得 ∑i=1n∑j=1n(n−∣i−j∣)xixj≥c∑j=1nxi2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(n-|i-j|)x_ix_j \geq c\sum_{j=1}^{n}x^2_i 对于任何正整数 nn 和任何实数 x1,x2,…,xn.x_1,x_2,\dots,x_n.

提示 1

先说出现象：哪些量会变，哪些约束不会变。

提示 2

找守恒量、相似关系、平衡条件或不变量，不急着代公式。

提示 3

把物理图景或谜题结构翻成一个最小方程组，再处理边界情况。

完整解答

题面已直接收录。先把 2024 年 CMO 第 2 题的条件整理成对象、关系、目标三部分；再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；最后补齐边界情形，并回到原题要求核对。

闲谈 aside

这类题最怕一上来套公式。先把图景或语言条件说清楚，答案通常会少绕很多路。

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