2018 CMO 第 6 题

$ABCD$ is a cyclic quadrilateral whose diagonals intersect at $P$ . The circumcircle of $\triangle APD$ meets segment $AB$ at points $A$ and $E$ . The circumcircle of $\triangle BPC$ meets segment $AB$ at points $B$ and $F$ . Let $I$ and $J$ be the incenters of $\triangle ADE$ and $\triangle BCF$ , respectively. Segments $IJ$ and $AC$ meet at $K$ . Prove that the points $A,I,K,E$ are cyclic.

$ABCD$ 是一个循环四边形，其对角线相交于 $P$ 。 $\triangle APD$ 的外接圆在点 $A$ 和 $E$ 处与线段 $AB$ 相交。 $\triangle BPC$ 的外接圆在点 $B$ 和 $F$ 处与线段 $AB$ 相交。设$I$和$J$分别为$\triangle ADE$和$\triangle BCF$的内心。线段 $IJ$ 和 $AC$ 在 $K$ 汇合。证明点$A,I,K,E$是循环的。