2016 CMO 第 2 题

Let $p$ be an odd prime and $a_1, a_2,...,a_p$ be integers. Prove that the following two conditions are equivalent:

1) There exists a polynomial $P(x)$ with degree $\leq \frac{p-1}{2}$ such that $P(i) \equiv a_i \pmod p$ for all $1 \leq i \leq p$ 2) For any natural $d \leq \frac{p-1}{2}$ , $$\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p$$ where indices are taken $\pmod p$

设 $p$ 为奇素数，$a_1, a_2,...,a_p$ 为整数。证明以下两个条件等价：

1) 存在一个度为 $\leq \frac{p-1}{2}$ 的多项式 $P(x)$，使得 $P(i) \equiv a_i \pmod p$ 对于所有 $1 \leq i \leq p$ 2) 对于任何自然的 $d \leq \frac{p-1}{2}$ ， $$\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p$$ 其中采用索引 $\pmod p$