2012 CMO 第 5 题

Prove for any $M>2$ , there exists an increasing sequence of positive integers $a_1<a_2<\ldots$ satisfying:

1) $a_i>M^i$ for any $i$ ;

2) There exists a positive integer $m$ and $b_1,b_2,\ldots ,b_m\in\left\{ -1,1\right\}$ , satisfying $n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_mb_m$ if and only if $n\in\mathbb{Z}/ \{0\}$ .

证明对于任何 $M>2$ ，存在递增的正整数序列 $a_1<a_2<\ldots$ 满足：

1) 对于任意$i$，$a_i>M^i$；

2) 存在正整数 $m$ 和 $b_1,b_2,\ldots ,b_m\in\left\{ -1,1\right\}$ ，满足 $n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_mb_m$ 当且仅当 $n\in\mathbb{Z}/ \{0\}$ 。