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番外 · 闲灯 / 中国数学奥林匹克 / P5 · functional-equations

2016 CMO 第 5 题

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内容 2016 · 185
来源 context

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理；中文题意为本站自译，英文行为来源英译摘要，公式请以原始来源为准。

CMO 2016 P5 functional-equations

Let ABCDABCD be a convex quadrilateral. Show that there exists a square A′B′C′D′A'B'C'D' (Vertices maybe ordered clockwise or counter-clockwise) such that A≠A′,B≠B′,C≠C′,D≠D′A \not = A', B \not = B', C \not = C', D \not = D' and AA′,BB′,CC′,DD′AA',BB',CC',DD' are all concurrent.

设 ABCDABCD 为凸四边形。证明存在一个正方形 A′B′C′D′A'B'C'D' (顶点可以顺时针或逆时针排序)，使得 A≠A′,B≠B′,C≠C′,D≠D′A \not = A', B \not = B', C \not = C', D \not = D' 和 AA′,BB′,CC′,DD′AA',BB',CC',DD' 都是并发的。

提示 1

先说出现象：哪些量会变，哪些约束不会变。

提示 2

找守恒量、相似关系、平衡条件或不变量，不急着代公式。

提示 3

把物理图景或谜题结构翻成一个最小方程组，再处理边界情况。

完整解答

题面已直接收录。先把 2016 年 CMO 第 5 题的条件整理成对象、关系、目标三部分；再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；最后补齐边界情形，并回到原题要求核对。

闲谈 aside

这类题最怕一上来套公式。先把图景或语言条件说清楚，答案通常会少绕很多路。

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