2009 CMO 第 1 题

Given an acute triangle $PBC$ with $PB\neq PC.$ Points $A,D$ lie on $PB,PC,$ respectively. $AC$ intersects $BD$ at point $O.$ Let $E,F$ be the feet of perpendiculars from $O$ to $AB,CD,$ respectively. Denote by $M,N$ the midpoints of $BC,AD.$

$(1)$ : If four points $A,B,C,D$ lie on one circle, then $EM\cdot FN = EN\cdot FM.$

$(2)$ : Determine whether the converse of $(1)$ is true or not, justify your answer.

给定一个锐角三角形 $PBC$ 和 $PB\neq PC。$ 点 $A,D$ 分别位于 $PB,PC,$ 上。 $AC$与$BD$相交于点$O。$设$E,F$分别为从$O$到$AB,CD,$的垂线的脚。用$M,N$表示$BC,AD.$的中点

$(1)$ : 如果四个点 $A,B,C,D$ 位于一个圆上，则 $EM\cdot FN = EN\cdot FM.$

$(2)$ ：判断 $(1)$ 的逆命题是否成立，并证明你的答案。