2001 CMO 第 1 题

Let $a$ be real number with $\sqrt{2}<a<2$ , and let $ABCD$ be a convex cyclic quadrilateral whose circumcentre $O$ lies in its interior. The quadrilateral's circumcircle $\omega$ has radius $1$ , and the longest and shortest sides of the quadrilateral have length $a$ and $\sqrt{4-a^2}$ , respectively. Lines $L_A,L_B,L_C,L_D$ are tangent to $\omega$ at $A,B,C,D$ , respectively.

Let lines $L_A$ and $L_B$ , $L_B$ and $L_C$ , $L_C$ and $L_D$ , $L_D$ and $L_A$ intersect at $A',B',C',D'$ respectively. Determine the minimum value of $\frac{S_{A'B'C'D'}}{S_{ABCD}}$ .

设 $a$ 为实数，且 $\sqrt{2}<a<2$ ，并设 $ABCD$ 为凸循环四边形，其外心 $O$ 位于其内部。四边形的外接圆 $\omega$ 的半径为 $1$ ，四边形的最长边和最短边的长度分别为 $a$ 和 $\sqrt{4-a^2}$ 。线 $L_A,L_B,L_C,L_D$ 分别在 $A,B,C,D$ 处与 $\omega$ 相切。

令线 $L_A$ 和 $L_B$ 、 $L_B$ 和 $L_C$ 、 $L_C$ 和 $L_D$ 、 $L_D$ 和 $L_A$ 分别相交于 $A',B',C',D'$ 。确定 $\frac{S_{A'B'C'D'}}{S_{ABCD}}$ 的最小值。