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番外 · 闲灯 / 中国数学奥林匹克 / P5 · inequality

2009 CMO 第 5 题

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内容 2009 · 143
来源 context

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理；中文题意为本站自译，英文行为来源英译摘要，公式请以原始来源为准。

CMO 2009 P5 inequality

Given an integer n>3.n > 3. Let a1,a2,⋯ ,ana_{1},a_{2},\cdots,a_{n} be real numbers satisfying min∣ai−aj∣=1,1≤i≤j≤n.min |a_{i} - a_{j}| = 1, 1\le i\le j\le n. Find the minimum value of ∑k=1n∣ak∣3.\sum_{k = 1}^n|a_{k}|^3.

给定一个整数 n>3.n > 3. 令 a1,a2,⋯ ,ana_{1},a_{2},\cdots,a_{n} 为满足 min∣ai−aj∣的实数=1,1≤i≤j≤n.min |a_{i} - a_{j}| 的实数= 1, 1\le i\le j\le n. 求 ∑k=1n∣ak∣3.\sum_{k = 1}^n|a_{k}|^3. 的最小值

提示 1

先猜等号，再看每一项的量纲和同次性。

提示 2

试着归一化，或把式子拆成柯西、均值、凸性可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件是否和题设完全兼容。

完整解答

题面已直接收录。先把 2009 年 CMO 第 5 题的条件整理成对象、关系、目标三部分；再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；最后补齐边界情形，并回到原题要求核对。

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