2007 CMO 第 3 题

Let $a_1, a_2, \ldots , a_{11}$ be 11 pairwise distinct positive integer with sum less than 2007. Let S be the sequence of $1,2, \ldots ,2007$ . Define an **operation** to be 22 consecutive applications of the following steps on the sequence $S$ : on $i$ -th step, choose a number from the sequense $S$ at random, say $x$ . If $1 \leq i \leq 11$ , replace $x$ with $x+a_i$ ; if $12 \leq i \leq 22$ , replace $x$ with $x-a_{i-11}$ . If the result of **operation** on the sequence $S$ is an odd permutation of $\{1, 2, \ldots , 2007\}$ , it is an **odd operation**; if the result of **operation** on the sequence $S$ is an even permutation of $\{1, 2, \ldots , 2007\}$ , it is an **even operation**. Which is larger, the number of odd operation or the number of even permutation? And by how many?

Here $\{x_1, x_2, \ldots , x_{2007}\}$ is an even permutation of $\{1, 2, \ldots ,2007\}$ if the product $\prod_{i > j} (x_i - x_j)$ is positive, and an odd one otherwise.

令 $a_1, a_2, \ldots , a_{11}$ 为总和小于 2007 的 11 个成对不同正整数。令 S 为 $1,2, \ldots ,2007$ 的序列。将**操作**定义为对序列 $S$ 执行以下步骤的 22 个连续应用：在第 $i$ 步中，从序列 $S$ 中随机选择一个数字，例如 $x$ 。如果 $1 \leq i \leq 11$ ，则将 $x$ 替换为 $x+a_i$ ；如果 $12 \leq i \leq 22$ ，将 $x$ 替换为 $x-a_{i-11}$ 。如果对序列 $S$ 的**运算**结果是 $\{1, 2, \ldots , 2007\}$ 的奇排列，则为**奇运算**；如果对序列 $S$ 进行**运算**的结果是 $\{1, 2, \ldots , 2007\}$ 的偶排列，则它是**偶运算**。奇数运算的次数和偶数排列的次数哪个更大？以及有多少？

这里，如果乘积 $\prod_{i > j} (x_i - x_j)$ 为正，则 $\{x_1, x_2, \ldots , x_{2007}\}$ 是 $\{1, 2, \ldots ,2007\}$ 的偶排列，否则为奇排列。