2012 CMO 第 1 题

In the triangle $ABC$ , $\angle A$ is biggest. On the circumcircle of $\triangle ABC$ , let $D$ be the midpoint of $\widehat{ABC}$ and $E$ be the midpoint of $\widehat{ACB}$ . The circle $c_1$ passes through $A,B$ and is tangent to $AC$ at $A$ , the circle $c_2$ passes through $A,E$ and is tangent $AD$ at $A$ . $c_1$ and $c_2$ intersect at $A$ and $P$ . Prove that $AP$ bisects $\angle BAC$ .

<details><summary>Diagram</summary>[asy]

/* File unicodetex not found. */

/* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki, go to User:Azjps/geogebra */

import graph; size(14.4cm);

real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */

pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */

pen dotstyle = black; /* point style */

real xmin = -5.23, xmax = 9.18, ymin = -2.97, ymax = 4.82; /* image dimensions */

/* draw figures */

draw(circle((-1.32,1.36), 2.98));

draw(circle((3.56,1.53), 3.18));

draw((0.92,3.31)--(-2.72,-1.27));

draw(circle((0.08,0.25), 3.18));

draw((-2.72,-1.27)--(3.13,-0.65));

draw((3.13,-0.65)--(0.92,3.31));

draw((0.92,3.31)--(2.71,-1.54));

draw((-2.41,-1.74)--(0.92,3.31));

draw((0.92,3.31)--(1.05,-0.43));

/* dots and labels */

dot((-1.32,1.36),dotstyle);

dot((0.92,3.31),dotstyle);

label(" $A$ ", (0.81,3.72), NE * labelscalefactor);

label(" $c_1$ ", (-2.81,3.53), NE * labelscalefactor);

dot((3.56,1.53),dotstyle);

label(" $c_2$ ", (3.43,3.98), NE * labelscalefactor);

dot((1.05,-0.43),dotstyle);

label(" $P$ ", (0.5,-0.43), NE * labelscalefactor);

dot((-2.72,-1.27),dotstyle);

label(" $B$ ", (-3.02,-1.57), NE * labelscalefactor);

dot((2.71,-1.54),dotstyle);

label(" $E$ ", (2.71,-1.86), NE * labelscalefactor);

dot((3.13,-0.65),dotstyle);

label(" $C$ ", (3.39,-0.9), NE * labelscalefactor);

dot((-2.41,-1.74),dotstyle);

label(" $D$ ", (-2.78,-2.07), NE * labelscalefactor);

clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);

/* end of picture */[/asy]</details>

在三角形 $ABC$ 中，$\angle A$ 最大。在 $\triangle ABC$ 的外接圆上，设 $D$ 为 $\widehat{ABC}$ 的中点，$E$ 为 $\widehat{ACB}$ 的中点。圆 $c_1$ 经过 $A,B$ 并在 $A$ 处与 $AC$ 相切，圆 $c_2$ 经过 $A,E$ 并在 $A$ 处与 $AD$ 相切。 $c_1$ 和 $c_2$ 相交于 $A$ 和 $P$ 。证明 $AP$ 平分 $\angle BAC$ 。

<详细信息><摘要>图表</摘要>[asy]

/* 未找到文件 unicodetex。 */

/* Geogebra 到 Asymptote 的转换，文档位于 artofproblemsolving.com/Wiki，请转至 User:Azjps/geogebra */

导入图表；尺寸(14.4厘米)；

真实标签比例因子 = 0.5； /* 改变标签到点的距离 */

画笔 dps = 线宽(0.7) + 字体大小(10);默认笔(dps)； /* 默认画笔样式 */

笔点样式 = 黑色； /* 点样式 */

实际xmin = -5.23，xmax = 9.18，ymin = -2.97，ymax = 4.82； /* 图像尺寸 */

/* 绘制图形 */

绘制(圆((-1.32,1.36),2.98));

绘制(圆((3.56，1.53)，3.18))；

绘制((0.92,3.31)--(-2.72,-1.27));

绘制(圆((0.08，0.25)，3.18));

绘制((-2.72，-1.27)--(3.13，-0.65))；

绘制((3.13，-0.65)--(0.92，3.31))；

绘制((0.92,3.31)--(2.71,-1.54));

绘制((-2.41,-1.74)--(0.92,3.31));

绘制((0.92,3.31)--(1.05,-0.43));

/* 点和标签 */

点((-1.32,1.36),点样式);

点((0.92,3.31),点样式);

label(" $A$ ", (0.81,3.72), NE * labelscalefactor);

label(" $c_1$ ", (-2.81,3.53), NE * labelscalefactor);

点((3.56,1.53),点样式);

label(" $c_2$ ", (3.43,3.98), NE * labelscalefactor);

点((1.05，-0.43)，点样式)；

label(" $P$ ", (0.5,-0.43), NE * labelscalefactor);

点((-2.72，-1.27)，点样式)；

label(" $B$ ", (-3.02,-1.57), NE * labelscalefactor);

点((2.71，-1.54)，点样式)；

label(" $E$ ", (2.71,-1.86), NE * labelscalefactor);

点((3.13，-0.65)，点样式)；

label(" $C$ ", (3.39,-0.9), NE * labelscalefactor);

点((-2.41，-1.74)，点样式)；

label(" $D$ ", (-2.78,-2.07), NE * labelscalefactor);

剪辑((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--循环);

/* 图片结束 */[/asy]</details>